🧲 FI 193 — Material de apoio

1 · Segunda quantização

Bósons comutam, férmions anticomutam: $[a_i, a_j^\dagger]=\delta_{ij}$, $\{c_i, c_j^\dagger\}=\delta_{ij}$, e $(c^\dagger)^2=0$ é o princípio de Pauli embutido na álgebra. Operador de 1 corpo: $\hat T=\sum_{ij}\langle i|T|j\rangle\, c_i^\dagger c_j$; de 2 corpos:

$$\hat V=\tfrac{1}{2}\sum_{ijkl}\langle ij|V|kl\rangle\, c_i^\dagger c_j^\dagger c_l c_k,$$

Cuidado clássico: a ordem $c_l c_k$ (invertida) no operador de 2 corpos.

2 · Estados coerentes bosônicos

Autoestados do operador de destruição: $a\ket{\phi}=\phi\ket{\phi}$ para qualquer $\phi\in\mathbb{C}$, com

$$\ket{\phi}=e^{\phi a^\dagger}\ket{0},\qquad \braket{\phi|\phi'}=e^{\phi^*\phi'}\ (\text{não normalizados}).$$

$a^\dagger$ não tem autoestados (a recorrência "corre para baixo" e zera tudo). São a base da integral de trajetória bosônica e do condensado.

3 · Gás de elétrons e $r_s$

Energia por elétron em 1ª ordem (Rydberg): cinética $+$ troca,

$$\frac{E}{N}=\frac{2.21}{r_s^2}-\frac{0.916}{r_s}\ \text{Ryd},\qquad \langle\hat V\rangle_0=-\frac{3}{2\pi}\left(\frac{9\pi}{4}\right)^{1/3}\frac{1}{r_s}\ \text{Ryd}.$$

A troca só atua entre spins paralelos. Em $r_s$ grande (gás diluído) ela domina e favorece polarizar: ferromagnetismo de Bloch para $r_s\gtrsim 5.45$ (1ª ordem — a correlação muda a história real).

4 · Bogoliubov bosônico

Gás diluído com condensado: mantém $a_0\to\sqrt{N_0}$, expande até 2ª ordem e diagonaliza com $b_k=u_k a_k - v_k a_{-k}^\dagger$:

$$E_k=\sqrt{\epsilon_k^2+4\lambda\epsilon_k},\qquad \lambda=\frac{2\pi\hbar^2 a n}{m}.$$

Baixo $k$: fônon $E_k\approx c|k|$ (superfluidez via critério de Landau); alto $k$: partícula livre. Depleção quântica $\propto\sqrt{na^3}$ — o "parâmetro do gás".

5 · Hubbard $\to$ Heisenberg

Dois sítios, dois elétrons: tripleto não faz hopping (Pauli), singleto ganha energia virtual $\Rightarrow$ superexchange antiferromagnético

$$J=\frac{4t^2}{U}>0,\qquad H_{\text{ef}}=J\,\mathbf{S}_1\cdot\mathbf{S}_2+\text{const}.$$

Já o exchange direto (integral de Coulomb $J^{DE}_{ij}>0$, sempre real e positivo via Fourier) dá Heisenberg ferromagnético. Mott: $U\gg t$ trava um elétron por sítio.

6 · Ondas de spin (Holstein–Primakoff)

$S^z=S-a^\dagger a$, $S^-\approx\sqrt{2S}\,a^\dagger$. Mágnons FM: $\omega_k\propto k^2$; AFM (duas sub-redes + Bogoliubov): $\omega_k\propto |k|$, linear.

$$\text{AFM: }\ \omega_k=2DJS\sqrt{1-\gamma_k^2},\qquad \gamma_k=\tfrac1D\textstyle\sum_\alpha\cos k_\alpha.$$

Mermin–Wagner: flutuações térmicas destroem ordem contínua em $D\le 2$; em $D=1$ até as quânticas destroem a ordem de Néel.

7 · Jordan–Wigner

Spins 1/2 em $D=1$ viram férmions sem spin com uma "string" que conserta a estatística entre sítios:

$$d_l=e^{i\pi\sum_{kModelo XX $\to$ férmions livres; XY $\to$ Bogoliubov fermiônico; Heisenberg $\to$ férmions com interação $J_z n_l n_{l+1}$.

8 · Impureza: Fano–Anderson e momentos locais

Nível $\epsilon_f$ hibridizado com a banda vira ressonância Lorentziana de largura $\Delta=\pi\rho_0 V^2$:

$$\rho(E)=\rho_0+\frac{\Delta/\pi}{(E-\epsilon_f)^2+\Delta^2},\qquad \langle n_f\rangle=\frac{2}{\pi}\arctan\!\left(\frac{\Delta}{\epsilon_f}\right).$$

Com $U$ (campo médio de Anderson): momento local se forma dentro da "língua" do diagrama $U/\Delta$; o mínimo da fronteira é $U_c=\pi\Delta$ em $n=1$.

9 · Funções de Green e Matsubara

Elétrons: $G^{(0)}(k,i\omega_n)=1/(i\omega_n-\xi_k)$, $\omega_n$ ímpar. Fônons: $\mathcal{D}^{(0)}(q,i\nu_n)=-2\omega_q/(\nu_n^2+\omega_q^2)$, $\nu_n$ par. Dyson: $G^{-1}=G_0^{-1}-\Sigma$. Da autoenergia saem

$$Z=\Big(1-\tfrac{\partial\,\mathrm{Re}\,\Sigma}{\partial\omega}\Big)^{-1},\qquad \frac{m^*}{m}=1+\lambda_{ep},\qquad \tau^{-1}\sim -2\,\mathrm{Im}\,\Sigma^R.$$

10 · Elétron-fônon e líquido de Fermi

$\Sigma$ depende de $\omega$ muito mais que de $k$ (Migdal: $c\ll v_F$). Com a função de Migdal $\alpha^2F(\nu)$:

$$\lambda_{ep}=2\int_0^\infty d\nu\,\frac{\alpha^2F(\nu)}{\nu},\qquad \mathrm{Im}\,\Sigma\propto\omega^3\ (T=0),\qquad \propto T^3\ (\omega=0).$$

$\mathrm{Im}\,\Sigma\ll\omega$ quando $\omega\to0$: quasipartículas bem definidas — Landau sobrevive aos fônons.